Question

已知M(x,y) A(0,-1/2) B(-1,0)三点共线 则2^x+4^y的最小值为

Answer 1

向量AM=(x,y+1/2)
向量BM=(x+1,y)
而M(x,y)
A(0,-1/2)
B(-1,0)
三点共线

所以(x+1)(y+1/2)=xy
所以得
x/2+y+1/2=0
x+2y=-1
而2^x+4^y=2^x+2^(2y)>=2√(2^x*2^(2y))=2√2^(x+2y)=2√(1/2)=√2
所以最小值为√2
不懂可以追问，谢谢！

Answer 2

a*b=(x，2)*(1，y)=x+2y=4
，
由于
x、y
均是正数，
所以
1/x+2/y=1/4*(1/x+2/y)(x+2y)=1/4*(1+4+2y/x+2x/y)>=1/4*[1+4+2√(2y/x*2x/y)]=9/4
，
当且仅当
2y/x=2x/y
且
x+2y=4
即
x=y=4/3
时，取等号。
因此，1/x+2/y
的最小值为
9/4
。