Question

微积分的莱布尼茨公式

Answer 1

1、定义函数φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则φ’(x)=f(x)。
证明：让函数φ(x)获得增量δx，则对应的函数增量
δφ=φ(x+δx)-φ(x)=x+δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然，x+δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而δφ=x+δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•δx(ξ在x与x+δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
当δx趋向于0也就是δφ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim
δx→0
δφ/δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=f（b）-f（a），f（x）是f(x)的原函数。
证明：我们已证得φ’(x)=f(x)，故φ(x）+c=f（x）
但φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以f（a）=c
于是有φ(x）+f（a）=f（x），当x=b时，φ(b)=f（b)-f(a),
而φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=f（b)-f(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。