Question

1/(1+sinx)的不定积分怎么求？arctan根号下（根号x-1）的不定积分怎么求？

Answer 1

我来帮你！楼主
1.
三角换元
+
万能公式
令tan(x/2)=t
,则sinx=2t/(1+t^2),
dx=2dt/(1+t^2),带入整理，
∫1/(1+sinx)dx
=∫2dt/(1+2t+t^2)=
2∫dt/(1+t)^2
=
-2/(1+t)+
C
=
-2/[1+tan(x/2)]+
C
2.直接整体换元
令arctan√(√x-1）=t
，则
√x-1=(tant)^2,
x=
(sect)^4,
∫arctan√(√x-1)dx
=
∫td((sect)^4)
=t(sect)^4
-∫[(sect)^4]dt
=t(sect)^4
-tant-1/3×(tant)^3
＋C
=……（把t的函数替换为x的函数就行了）
注：∫[(sect)^4]dt
=∫[1+(tant)^2]^2dt
=∫[1+2(tant)^2+(tant)^4]dt
=t+2(tant-t)+1/3×(tant)^3－tant＋t＋C
=tant+1/3×(tant)^3＋C
其中，
∫(tant)^2dt
=
∫[(sect)^2-1]dt
=
tant-t
+
C
∫(tant)^4dt
＝∫(tant)^2×[(sect)^2－1]dt
＝∫(tant)^2×d(tant)－∫(tant)^2dt
＝1/3×(tant)^3－tant＋t＋C
第2题就是三角函数的积分的处理比较麻烦，但并不很难，常用的方法，
PPPS：强烈建议楼主加到100分，这题绝对值，多谢!
呵呵，祝你进步！