Question

求解高中数学三角函数问题~~~~~~~~~~

试求：2/（sinx）^2 + 8/（cosx）^2 的最小值 （x为实数）

Answer 1

柯西不等式:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2
[左边＝(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2 ≥ (ac)^2+(bd)^2+2abcd=右边,等号成立的条件是ad=bc]

用上述结论有
原式 ＝ [(2^0.5/sinx)^2 + (8^0.5/cosx)^2]*(（sinx）^2 + （cosx）^2)
≥[(2^0.5/sinx)*sinx + (8^0.5/cosx)*cosx]^2
=(2^0.5 + 8^0.5) ^2 =18

等号成立的条件是 (8^0.5/cosx)*sinx = (2^0.5/sinx)*cosx
化简得 tanx= (0.5)^0.5
所以，当tanx= (0.5)^0.5时，最小值18

Answer 2

2/（sinx）^2 + 8/（cosx）^2 >= 8/sinx*cosx
....原理:[a^2+b^2>=2ab]......
8/sinx*cosx =16/sin2x
当sin2x为最大=1时,16/sin2x最小
2/（sinx）^2 + 8/（cosx）^2 >=16
所以最小=16

Answer 3

2/（sinx）^2 + 8/（cosx）^2=(6（sinx）^2+2)/(（sinx）^2-（sinx）^4)
令6（sinx）^2+2=t,2<t<8
所以原式的倒数=-(t/36+4/9t)+5/18<=-2根号(t/36*4/9t)+5/18=1/18,此时t=4即(sinx)^2=1/3
所以原式的最小植=18

Answer 4

原式=1/2*（1-cos2x)/2+1/8*(1+cos2x)/2然后整理一下就OK了