Question

y′′+y=cos²x的一个特解？

Answer 1

对应的二阶线性齐次微分方程是：
y''+y=0
特征方程是：r^2+1=0 ,特征根是：r=±i
对应的齐次微分方程的通解是：y=C1cosx+C2sinx
这里f(x)属于e^λx[Pcosωx+Qsinωx]型和e^λxR，P、Q、R均是0阶多项式，
λ=0，ω=2，±2i不是特征根，所以应设特解为：y*=acos2x+bsin2x+c
代入非齐次微分方程得：
-4acos2x-4bsin2x+acos2x+bsin2x+c=1/2+1/2cos2x
-3acos2x-3bsin2x+c=1/2+1/2cos2x
比较系数得：-3a=1/2, -3b=0， a=-1/6, b=0, c=1/2

所以：特解 y*=-1/6*cos2x+1/2
非齐次微分方程的通解为 ：y=C1cosx+C2sinx-1/6*cos2x+1/2 .