y′′+y=cos²x的一个特解?

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宛丘山人
2022-11-27 · 长期从事大学高等数学和计算机数据结构教学
宛丘山人
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对应的二阶线性齐次微分方程是:
y''+y=0
特征方程是:r^2+1=0 ,特征根是:r=±i
对应的齐次微分方程的通解是:y=C1cosx+C2sinx
这里f(x)属于e^λx[Pcosωx+Qsinωx]型和e^λxR,P、Q、R均是0阶多项式,
λ=0,ω=2,±2i不是特征根,所以应设特解为:y*=acos2x+bsin2x+c
代入非齐次微分方程得:
-4acos2x-4bsin2x+acos2x+bsin2x+c=1/2+1/2cos2x
-3acos2x-3bsin2x+c=1/2+1/2cos2x
比较系数得:-3a=1/2, -3b=0, a=-1/6, b=0, c=1/2

所以:特解 y*=-1/6*cos2x+1/2
非齐次微分方程的通解为 :y=C1cosx+C2sinx-1/6*cos2x+1/2 .
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