Question

拉氏变换中复微分定理怎么证明？

Answer 1

拉普拉斯变换中的复微分定理可以用分部积分法来证明。
设函数 f(t) 和 g(t) 的拉普拉斯变换为 F(s) 和 G(s)，则有：
∫[0,+∞)f(t)g'(t)e^(-st)dt = [f(t)g(t)e^(-st)]|_[0,+∞) + sF(s)G(s) - ∫[0,+∞)f'(t)g(t)e^(-st)dt
下面我们来逐步证明上式。
首先，利用分部积分法，对于积分 ∫[0,+∞)f(t)g'(t)e^(-st)dt，我们可以令 u = f(t) 和 v' = g'(t)e^(-st)，则有：
∫[0,+∞)f(t)g'(t)e^(-st)dt = [f(t)g(t)e^(-st)]|_[0,+∞) - ∫[0,+∞)f'(t)g(t)e^(-st)dt
因为当 t → ∞ 时，e^(-st) → 0，所以 [f(t)g(t)e^(-st)]|_[0,+∞) = 0。
接下来，我们来证明 sF(s)G(s) 的部分。根据拉普拉斯变换的定义，有：
F(s) = ∫[0,+∞)f(t)e^(-st)dt
G(s) = ∫[0,+∞)g(t)e^(-st)dt
对 F(s)G(s) 进行求导，得到：
(d/ds)(F(s)G(s)) = dF(s)/ds * G(s) + F(s) * dG(s)/ds
根据拉普拉斯变换的导数性质，有：
dF(s)/ds = -∫[0,+∞)tf(t)e^(-st)dt
dG(s)/ds = -∫[0,+∞)tg(t)e^(-st)dt
将上面的两式代入 (d/ds)(F(s)G(s)) 中，得到：
(d/ds)(F(s)G(s)) = ∫[0,+∞)tf(t)e^(-st)dt * G(s) + F(s) * ∫[0,+∞)tg(t)e^(-st)dt
注意到：
∫[0,+∞)tf(t)e^(-st)dt = -dF(s)/ds
∫[0,+∞)tg(t)e^(-st)dt = -dG(s)/ds
因此，有：
(d/ds)(F(s)G(s)) = sF(s)G(s) + ∫[0,+∞)f'(t)g(t)e^(-st)dt
最后，将上面的结果代入最开始的等式中，即可得到拉普拉斯变换中的复微分定理：
∫[0,+∞)f(t)g'(t)e^(-st)dt = [f(t)g(t)e^(-st)]|_[0,+∞) + sF(s)G(s) - ∫[0,+∞)f'(t)g(t