Question

急求解!!!两道高一数学题

1.求证：关于X的方程ax^3+bx^2+cx+d=0有一个根是-1的充要条件是 a+c=b+d
2.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半
急求!!!!!!!

Answer 1

1，证：
充分性：因为a+c=b+d，所以a-b+c-d=0，即-1代入原方程的结果。
必要性：因为-1是原方程的根，所以a*（-1)^3+b*(-1)^2+c*(-1)+d=0
即a-b+c-d=0，推出a+c=b+d。
2，证：
画一个三角形ABC，A钝角，AD为中线，假设AD>=BD=CD,那么角B>=角BAD,角C>=角CAD，两式相加，角B+角C>=角A,即180°-A>=A,A<=90°,与ABC为钝角三角形矛盾，所以原命题成立。

Answer 2

1.
当a+c=b+d，设a+c=b+d=t
则：c=t-a, d=t-b
ax^3+bx^2+cx+d
=ax^3+bx^2+(t-a)x+(t-b)
=(ax^3-ax)+(bx^2-b)+t(x+1)
=ax((x-1)(x+1)+b(x-1)(x+1)+t(x+1)=0
显然：x+1=0
x=-1,是方程ax^3+bx^2+cx+d=0的根

当ax^3+bx^2+cx+d=0有一个根是-1
则：-a+b-c+d=0
a+c=b+d

所以：关于X的方程ax^3+bx^2+cx+d=0有一个根是-1的充要条件是 a+c=b+d

2.
设三角形ABC中，角ACB>90度，CD是AB边上的中线，求证CD<AB/2
证明:
设：CD>=AB/2
则：在三角形ADC中，CD>=AD
角ACD<=角A
在三角形BDC中，CD>=DB
角BCD<=角B
所以：角ACD+角BCD<=角A+角B=180度-角ACB
角ACB<=180度-角ACB
角ACB<=90度
与题设条件矛盾
所以：CD<AB/2