Question

已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x^2+2ax+1(a为正整数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等。

（1）求a的值；
（2）求函数f(x)+g(x)的单调递增区间；
（3）若n为正整数，证明10^[f(n)]*（4/5)[g(n)]<4.

Answer 1

(1)y=|x-a|与y轴的交点为(0,a)
y=x^2+2ax+1与y轴的交点为(0,1)
所以a=1

(2)f(x)=|x-1|
g(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2
x>=1 f(x)+g(x)=x-1+(x+1)^2=x^2+3x=(x+3/2)^2-9/4
所以在x>-3/2上面增 (因为x>=1 ）所以x>=1 上增
x<1 f(x)+g(x)=1-x+(x+1)^2=x^2+x+2=(x+1/2)^2+7/4
所以x>=-1/2上面增 （因为x<1) 所以-1/2<=x<1上增
综上x>=-1/2时候增

其余的每个区间单独为减区间!

(3)因为截距相等,所以a=±1,又因为a为正常数,所以a=1.
所以即证明10^(n-1)*(4/5)^(n^2+2n+1)<4.
当n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时验证成立.
当n≥11时,(n+1)^2＞(n-1)(n+1),所以
10^(n-1)*(4/5)^(n^2+2n+1)＜10^(n-1)*(4/5)(n-1)(n+1)
=[10*(4/5)^(n+1)]^(n-1)
[ ]括号里面的小于1,所以整个式子小于1,从而小于4.