Question

请帮忙求极限:lim[(a+x)^x-a^x]/x^2,x趋于0.

答案是1/a.但不知过程。
题目是出给微积分只学了第一章的同学出的，不能用什么洛必达法则或泰勒公式之类的

Answer 1

洛必达法则或泰勒公式不能用

等价无穷小代换可以用吧？

如果不可以用 就用极限的知识证明一下等价无穷小代换即可 

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Answer 2

f(x)=[(a+x)^x-a^x]

g(x）=x^2
注意到0代进去都是0，用洛比达
f'(x)=(x+a)^x[ln(x+a)+x/(x+a)]-a^xlna
g'(x)=2x

注意到0代进去都是0，用洛比达
f''(x)=(x+a)^x[ln(x+a)+x/(x+a)]^2+(x+a)^x[1/(x+a)+a/(x+a)^2]-a^x(lna)^2
g''(x)=2

从g''(x)就可以猜测这道题到底了，不然中国是不会出给你做的
代进去f''(0)=2/a

所以极限是1/a (a不为0)