Question

若f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数x、y都成立，且f(x)不恒等于零，判断函数f(x)的奇偶性。

若f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数x、y都成立，且f(x)不恒等于零，判断函数f(x)的奇偶性。
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过程呢？

Answer 1

设x=0,y=0则有
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=2f(0)
f(0)=0

在设x=x y=-x
则
f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
由于f(x)不恒等于零
所以
f(x)为奇函数

Answer 2

∵f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
而：f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数.

Answer 3

偶函数