Question

已知a,b,c均为正数，且abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值

Answer 1

a,b,c均为正数，且abc(a+b+c)=1

a+b+c=1/(abc)
(a+b+c)b=b/(abc)
ab+bc+b^2=1/(ac)
ab+bc+b^2+ac=1/(ac)+ac
(a+b)(b+c)=1/(ac)+ac

根据a^2+b^2≥2ab得
1/(ac)+ac≥2√[1/(ac)*ac]=2

所以(a+b)(b+c)≥2，最小值是2

Answer 2

因为a+b+c=0且abc=16，所以得出三个数中两个为负数，一个为正数，且两个负数相加的和与正数互为相反数。即a+b=-c，(a+b)*(a+b)=(c)^2，即[a*b*(a+b)]^2=256，所以a*b*(a+b)=-16，已知c为正数，所以
a*b为负数，即a和b均为负数。所以推出a*b=4,
a+b=-4,即c最小为4.