Question

求函数f(x)=2x+1/x+1在区间[1，4]上的最大值最小值

求函数f(x)=2x+1/x+1在区间[1，4]上的最大值，最小值

Answer 1

这题不该用基本不等式来解，应该用分离常数的方法，并结合反比例函数的图像性质进行判断。
f(x)=2x+1/x+1
=[2（x+1）-1]/x+1
=2-[1/(x+1)]
因为函数y=1/x在区间[1，4]上为减函数，所以y=-1/(x+1)在区间[1，4]上为增函数，则f(x)在区间[1，4]上也为增函数（这是复合函数单调性判断的“增增减减”性质）。
所以，f(x)=2x+1/x+1在区间[1，4]上的最大值=f(1)=3/2
f(x)=2x+1/x+1在区间[1，4]上的最小值=f(4)=9/5
我知道这个方法是对的，但结果对不对我不知道！

Answer 2

由基本不等式可知，f(x)当且仅当x=（根号2）/2时取到最小值2（根号2）+1，所以在区间[1，4]上，f(x)的最大值在两个端点处取得，带入求值，得到，最大值为f(4)=41/4。

Answer 3

f(x)=2x+1/x+1=(2(x+1)-1)/(x+1)=2-1/(x+1)
1<=x<=4
2<=x+1)<=5
所以,1/5<=1/(x+1)<=1/2
-1/2<=-1/(x+1)<=-1/5
3/2<=2-1/(x+1)<=9/5
即最大值是9/5,最小值是3/2

Answer 4

f(x)=2x+1/x+1=(2(x+1)-1)/(x+1)=2-1/(x+1)
1<=x<=4
2<=x+1)<=5
所以,1/5<=1/(x+1)<=1/2
-1/2<=-1/(x+1)<=-1/5
3/2<=2-1/(x+1)<=9/5
即最大值是9/5,最小值是3/2