Question

高中三角函数证明题

在锐角三角形ABC中,证明:
sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A + sin(B-A)*sin(B-C)/sin2B + sin(C-A)*sin(C-B)/sin2C ≥0.
题目就是这样,一道高中竞赛题吧.我不赶时间,希望知道的大虾们能写下详细的过程,感激不尽.

Answer 1

过程十分长，如果你给多点分，我可以全写下来。

不过大致思路是这样：
先利用积化和差和其他三角公式，把三个式子分别化成：
sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A=cosBcosCsinA/(2cosA)-(sinA)/2+sinBsinCcosA/(2sinA)
sin(B-A)*sin(B-C)/sin2B=cosAcosCsinB/(2cosB)-(sinB)/2+sinAsinCcosB/(2sinB)
sin(C-A)*sin(C-B)/sin2C=cosAcosBsinC/(2cosC)-(sinC)/2+sinAsinBcosC/(2sinC)
因此，所证不等式化为：
∑(sinAsinBcosC/sinC+cosAcosBsinC/cosC)≥sinA+sinB+sinC ①
（其中，∑表示循环求和，例如对a,b,c，∑ab=ab+bc+ac）

然后设x=cotA,y=cotB,z=cotC，则∑xy=1
再利用:sinA=1/根号(1+x²)，sinB=1/根号(1+y²)，sinC=1/根号(1+z²)
以及1=∑xy化数方法化简①式，可得：
∑(x²+yz)/[x根号(y+z)]≥∑根号(y+z) 这一对称式
所以可设：x≥y≥z
又因为：(x²+yz)/[x根号(y+z)]-根号(y+z)=(x-y)(x-z)/[x根号(y+z)]
所以只需证：
∑(x-y)(x-z)/[x根号(y+z)]≥0
由x≥y≥z，知此式显然成立
综上，所证不等式成立。

Answer 2

详细解答请见附件图片(点击可恢复原来大小)