Question

证明sinx/根号X的极限为0

Answer 1

|sinx|≤1

所以|sinx/√x|≤|1/√x|=1/√x

取任意小的正数ε

若1/√N=ε，即N=1/ε^2

则当x>N时,得1/x<ε^2

0<1/√x<ε

即|1/√x-0|<ε,得

|sinx/√x|≤|1/√x|<ε

即任意一个正数ε

只要x>1/ε^2时

都有|sinx/√x|<ε

即sinx/√x在x趋于∞时极限是0

命题得证

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

|sinx|≤1
所以|sinx/√x|≤|1/√x|=1/√x

取任意小的正数ε
若1/√N=ε，即N=1/ε^2
则当x>N时,得1/x<ε^2
0<1/√x<ε
即|1/√x-0|<ε,得
|sinx/√x|≤|1/√x|<ε

即任意一个正数ε
只要x>1/ε^2时
都有|sinx/√x|<ε
即sinx/√x在x趋于∞时极限是0

命题得证

Answer 3

1。若是x趋近于正无穷大的极限,-1=<sinx<=1,sinx是有界的,1/√x是无穷小量，x趋近于正无穷大时。有界量乘无穷小量也是无穷小量，
所以sinx/根号X的极限为0。
2。若是x趋近于0，可以利用洛必达法则，lim sinx/√x=lim cosx*(1/2√x)=0

Answer 4

得说明是x趋近于正无穷大的极限。sinx是有界的，1/(根号x)是趋近于无穷大时的无穷小，有界量乘无穷小量还是无穷小。