Question

高一数学几何证明

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于面ABCD，M,N分别是AB,PC中点
（1）求证MN//平面PAD
（2）求证面PMC⊥面PCD

Answer 1

取CD中点H，连结MH、NH，PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，AM=BM,PN=CN,
△AMP≌△BCM，MC=PM，△PCM为等腰△，MN⊥PC,PA⊥CD,CD⊥AD,CD⊥平⊥CD面PAD,<CDP=90°，NH是三角形PDC中位线，NH‖PD，而PD⊥CD，NH⊥CD，CH⊥MH，CH⊥平面MNH，CH⊥MN，MN⊥平面PDC，而MN∈平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC。

或：
(1)取PD中点E，连结EN，AE。
因为E为PD中点，N为PC中点
所以EN为三角形PCD的中位线
所以EN=0.5CD，且EN//CD
因为底面ABCD为矩形
所以CD平行且等于AB，即CD//AM
所以EN//AM
因为M是AB中点
所以MA=0.5AB=0.5CD
所以MA=EN
所以四边形AMNE是平行四边形
所以MN//AE
因为AE在平面PAD内，MN不在平面PAD内
所以MN//平面PAD

(2)CD垂直AD
CD垂直PA
所以CD垂直面PAD
又因为MN//面PAD
所以MN垂直面PAD