Question

抛物线y=ax^2-8ax+12a(a<0)与x交于A、B两点...

抛物线y=ax^2-8ax+12a(a<0)与x交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC。
1.求线段OC的长
2.求该抛物线的函数关系式
3.在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。

第一问我已经做出来了。。。主要是要做第2和第3问。。。要过程。。。本来有图，不过发不上来。。。（按题目条件也可以自己画出来的。。。）

Answer 1

1、OC=2√3

2、过点C作CH垂直X轴于点H.

△OCA∽△OBC==>OC/OB=OA/OC=AC/BC=√3/3

所以，角OBC=角OCA=30度,∠ACB为直角

所以，角COA=30度

CH=OC*1/2=√3,OH==√3*=√3=3

所以，C（3，√3）

所以，√3=a*9-24a+12a

所以，a= -√3/3

所以，y=（-√3/3）x^2+（8√3/3）x-4√3

3、要使△BCP为等腰三角形

（1）PC=BC

所以，BH=HP

BH=√3*CH=3

PH=3,

因为H(3,0)

所以，P(0,0)

(2)PB=BC

因为BC=2CH=2√3，B(6,0)

所以，P(6-2√3,0)或(6+2√3,0)

(3)PC=PB

设P(X,0)

(X-3)^2+3=(X-6)^2

X=4

所以，P(4,0)

所以，P(0,0)或（6-2√3,0）或（6+2√3,0）或（4,0)都能使△BCP为等腰三角形