Question

为什么若行列式的某一行的元素都是两数之和则等于两个行列式之和。

不是任何一个数都能拆成两数之和的形式吗？

Answer 1

这个需要从定义出发证明,但行列式的定义方式不同,一般这样定义:

D = ∑ (-1)^t(j1j2...jn)a1j1 a2j2 ...aiji...anjn

若行列式某一行元素都是两个元素之和,比如:aij = bj+cj (j=1,2,...,n)

把这个代入定义式中,

D = ∑ (-1)^t(j1j2...jn)a1j1 a2j2 ...(bj+cj)...anjn

= ∑ (-1)^t(j1j2...jn)a1j1 a2j2 ...bj...anjn + ∑ (-1)^t(j1j2...jn)a1j1 a2j2 ...cj...anjn

这样,行列式就分拆成了两个行列式之和。

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举例：

证明，若一行列式中等于0的元素的个数多于n的平方减n个，则此行列式一定等于0：

在n行n列的行列式中，0元素多余n（n-1）个，则至少有一行或一列全为0，否则，假设没有一行（或一列）为0。

每行0元素最多n-1个那么最多一共有n（n-1）个0，和题目矛盾，所以至少有一行（或一列）全为0
那么该行列式值为0。

Answer 2

这个是行列式的基本性质，利用行列式的定义按找这一行展开就可以证明。
你说的也是对的，只不过一般来讲拆成两个行列式并不是化简，而是化繁。只有具有特殊结构的情况才用这一性质来进行分拆，否则一般用于合并两个行列式。