Question

一道不等式的证明

求证：
a^(n-1)/b^n+b^(n-1)/a^n>=1/a+1/b

谢谢！！！

Answer 1

[a^(n-1)/b^n + b^(n-1)/a^n] - [1/a + 1/b]
= [a^(n-1)/b^n + b^(n-1)/a^n] - [a^(n-1)/a^n + b^(n-1)/b^n]
= [b^(n-1)/a^n - a^(n-1)/a^n] - [b^(n-1)/b^n - a^(n-1)/b^n]
= [b^(n-1) - a^(n-1)]/a^n - [b^(n-1) - a^(n-1)]/b^n
= [b^(n-1) - a^(n-1)] * (1/a^n - 1/b^n)
若a≥b，则：
b^(n-1) - a^(n-1) ≤ 0
1/a^n - 1/b^n ≤ 0
因此[a^(n-1)/b^n + b^(n-1)/a^n] - [1/a + 1/b] ≥ 0
若a<b，则：
b^(n-1) - a^(n-1) > 0
1/a^n - 1/b^n > 0
因此[a^(n-1)/b^n + b^(n-1)/a^n] - [1/a + 1/b] > 0

综上所述，有：
[a^(n-1)/b^n + b^(n-1)/a^n] - [1/a + 1/b] ≥ 0
即：a^(n-1)/b^n+b^(n-1)/a^n>=1/a+1/b
取等号的条件是 a = b

Answer 2

提示：这个式子是从（a^(n-1)-b^(n-1)）平方>=0转变过来的
可以用分析法证明。就是先将原不等式去分母，再移象即可

Answer 3

我的方法是算到后面要用抛物线来判断哦。。。可能太久没接触这方面了。。。还是留高手解决，，我留个言，，以后看高手的方法，，