Question

一道初中数学几何题（四边形）

如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的重点。
（1）证明四边形EGFH是平行四边形
（2）在（1）的条件下，若EF垂直于BC，且2EF=BC，证明平行四边形EGFH是正方形

Answer 1

四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ACB=∠D=
a,点E、F分别在AD和AB上。∠CEF=180º-2
a
　探索CE与EF的数量关系
因为四边形ABCD中AB=CD，AD=BC
所以，四边形ABCD为平行四边形
所以，∠B=∠D
已知∠ACB=∠D=α
所以，∠ACB=∠B
即，△ABC和△ACD均为等腰三角形
所以，∠BAC=180°-2α
已知∠CEF=180°-2α
所以，∠BAC=∠CEF
所以，A、E、C、F四点共圆
则，∠CFE=∠CAE=α
而∠CEF=180°-2α
所以，∠ECF=α
即，∠CFE=∠ECF
所以，CE=EF.