Question

高二数学题关于双曲线

无论m为任何实数,直线l:y=x+m与双曲线C:x^2/2-y^2/b^2=1(b>0)恒有公共点.
1.求双曲线C的离心率e的取值范围
2.若直线l经过双曲线C的右焦点F与双曲线C交于P.Q两点,并满足FP=(1/5)FQ,求双曲线C的方程(FP和FQ都有箭头)

Answer 1

1.b²x²-2y²=2b²,y=x+m
b²x²-2(x+m)²=2b²
(b²-2)x²-4mx-2m²-2b²=0........(*)
上面的方程对任何实数m总有实数解。
讨论：1)b²-2=0,方程*化为：-4mx-2m²-2=0
m=0就不符合
∴b²-2≠0
2)b²-2≠0，(-4m)²-4(b²-2)(-2m²-2b²)≥0
2m²+(b²-2)(m²+b²)≥0
b²m²+(b²-2)b²≥0
c²-a²=b²>2=a²
c²>2a²
e²>2
e>√2
∴双曲线C的离心率e的取值范围是:e>√2
2.设直线l方程为:x=y+c,点P(x1,y1),Q(x2,y2)
5FP=FQ(FP和FQ都有箭头)
5y1=y2
将直线l方程x=y+c代入b²x²-2y²=2b²并整理得:
b²(y+c)²-2y²=2b²
c²=2+b²
(b²-2)y²+2b²cy+b²c²-2b²=0
y1+y2=-2b²c/(b²-2),y1y2=(b²c²-2b²)/(b²-2)
6y2==-2b²c/(b²-2),5y2²=(b²c²-2b²)/(b²-2)
消y2
9/5=b^4c²/[(b²-2)(b²c²-2b²)]
5b²c²=9(b²-2)(c²-2)
5c²(c²-2)=9(c²-4)(c²-2)
令c²=t,则有:5t(t-2)=9(t-4)(t-2)
t²-11t+18=0
t=2或t=9
∵t=c²>a²=2
∴c²=9
b²=9-2=7
双曲线C的方程为:x²/2-y²/7=1

Answer 2

答案如图

Answer 3

解：设直线l方程为x=k(y-4),代入双曲线方程x²-y²/3=1消去x得：
(k²-1/3)y²-8k²y+16k²-1=0，
由韦达定理可知：y1+y2=8k²/(k²-1/3)
①,y1y2=(16k²-1)/(k²-1/3)
②
直线l与x轴的交点Q的坐标为(-4k,0)
向量PQ=(-4k,-4),向量QA=(x1+4k,y1),向量QB=(x2+4k,y2),
λ1=-4/y1,λ2=-4/y2,λ1+λ2=-4(1/y1
+
1/y2)=-8/3
∴1/y1
+
1/y2=(y1+y2)/(y1y2)=2/3
代入①②得：
8k²/(16k²-1)=2/3,解得k²=1/4,k=±1/2
Q点坐标为(-2,0)或(2,0)
补充的那道题有错误：点P到右焦点的距离为d，右焦点不就是F2?我猜应该是到右准线的距离吧？
解：因为点P在双曲线右支上，根据双曲线第一定义有|PF1|-|PF2|=2a，
根据第二定义，|PF2|=ed,所以|PF1|=ed+2a
ed+2a,ed,d构成等差数列，则ed=d+2a,解得d=2a/(e-1)
对于双曲线上的点P来说，当P为右顶点时d最小，此时d=a-a²/c=a(1-a/c)=a(1-1/e)
所以d=2a/(e-1)≥a(1-1/e),约去a,整理得到不等式e²-4e+1≤0
解之，得2-√3≤e≤2+√3,结合e>1的事实
e的取值范围是(1,2+√3]

Answer 4

1.b²x²-2y²=2b²,y=x+m
b²x²-2(x+m)²=2b²
(b²-2)x²-4mx-2m²-2b²=0........(*)
上面的方程对任何实数m总有实数解。
讨论：1)b²-2=0,方程*化为：-4mx-2m²-2=0
m=0就不符合
∴b²-2≠0
2)b²-2≠0，(-4m)²-4(b²-2)(-2m²-2b²)≥0
2m²+(b²-2)(m²+b²)≥0
b²m²+(b²-2)b²≥0
c²-a²=b²>2=a²
c²>2a²
e²>2
e>√2
∴双曲线C的离心率e的取值范围是:e>√2
2.设直线l方程为:x=y+c,点P(x1,y1),Q(x2,y2)
5FP=FQ(FP和FQ都有箭头)
5y1=y2
将直线l方程x=y+c代入b²x²-2y²=2b²并整理得:
b²(y+c)²-2y²=2b²
c²=2+b²
(b²-2)y²+2b²cy+b²c²-2b²=0
y1+y2=-2b²c/(b²-2),y1y2=(b²c²-2b²)/(b²-2)
6y2==-2b²c/(b²-2),5y2²=(b²c²-2b²)/(b²-2)
消y2
9/5=b^4c²/[(b²-2)(b²c²-2b²)]
5b²c²=9(b²-2)(c²-2)
5c²(c²-2)=9(c²-4)(c²-2)
令c²=t,则有:5t(t-2)=9(t-4)(t-2)
t²-11t+18=0
t=2或t=9
∵t=c²>a²=2
∴c²=9
b²=9-2=7
双曲线C的方程为:x²/2-y²/7=1

Answer 5

1.b²x²-2y²=2b²,y=x+m
b²x²-2(x+m)²=2b²
(b²-2)x²-4mx-2m²-2b²=0........(*)
上面的方程对任何实数m总有实数解。
讨论：1)b²-2=0,方程*化为：-4mx-2m²-2=0
m=0就不符合
∴b²-2≠0
2)b²-2≠0，(-4m)²-4(b²-2)(-2m²-2b²)≥0
2m²+(b²-2)(m²+b²)≥0
b²m²+(b²-2)b²≥0
c²-a²=b²>2=a²
c²>2a²
e²>2
e>√2
∴双曲线C的离心率e的取值范围是:e>√2
2.设直线l方程为:x=y+c,点P(x1,y1),Q(x2,y2)
5FP=FQ(FP和FQ都有箭头)
5y1=y2
将直线l方程x=y+c代入b²x²-2y²=2b²并整理得:
b²(y+c)²-2y²=2b²
c²=2+b²
(b²-2)y²+2b²cy+b²c²-2b²=0
y1+y2=-2b²c/(b²-2),y1y2=(b²c²-2b²)/(b²-2)
6y2==-2b²c/(b²-2),5y2²=(b²c²-2b²)/(b²-2)
消y2
9/5=b^4c²/[(b²-2)(b²c²-2b²)]
5b²c²=9(b²-2)(c²-2)
5c²(c²-2)=9(c²-4)(c²-2)
令c²=t,则有:5t(t-2)=9(t-4)(t-2)
t²-11t+18=0
t=2或t=9
∵t=c²>a²=2
∴c²=9
b²=9-2=7
双曲线C的方程为:x²/2-y²/7=1