Question

证明函数f（x）=xsin（1|x），x不等于0，f（x）=0，x=0，在点x=0处是连续的

加油100分

Answer 1

证明：
x≠0，f(x)=xsin(1/x)
x=0，f(x)=0
lim(x→0) f(x)
=lim(x→0) xsin(1/x)
=lim(x→0) sin(1/x) /(1/x) 设t=1/x
=lim(t→∞) (sint) / t sint是有界函数：-1<=sint<=1
=0
=f(0)
所以：x=0时f(x)连续

Answer 2

lim{x->0}|
f（x）-f（0）|=lim{x->0}|
x
sin(1/x)|
<=lim{x->0}|
x
|=0
所以f在x=0处连续。
根据可导的原始定义：
lim｛x->0｝[f（x）-f（0）]/[x-0]
=
lim｛x->0｝sin（1/x）
（*）
这个极限显然不纯在，因为你取两列趋近于〇的点列：｛x|x=1/kπ
，k属于正整数｝和｛x|x=1/（2kπ+（π/2），k属于正整数）得到不同的极限，所以极限（*）不存在
，所以f在x=0处不可导。