Question

如图，点P是角MON的平分线上的一点，A,B分别在OM,ON上，且角APB+角MON=180度，求证：PA=PB

Answer 1

证明：【你没提供图，设∠OBP＞∠OAP】

过点P作PC⊥OM于C，PD⊥ON于D

则∠PCA=∠PDB=90°

∵点P是∠MPN平分线上的一点

∴PC=PD（角平分线上的点到角两边距离相等）

∵∠AOB+∠MON=180°

∴∠OAP+∠OBP=180°（四边形内角和360°）

∵∠PBD+∠OBP=180°

∴∠OAP=∠PBD，即∠CAP=∠PBD

∴△PCA≌△PDB（AAS）

∴PA=PB

追问

用两种方法证明。谢谢！！

追答

【证法1】

过点P作PC⊥OM于C，PD⊥ON于D

则∠PCA=∠PDB=90°

∵点P是∠MPN平分线上的一点

∴PC=PD（角平分线上的点到角两边距离相等）

∵∠APB+∠MON=180°

∴∠OAP+∠OBP=180°（四边形内角和360°）

∵∠OAP+∠CAP=180°

∴∠OBP=∠CAP，即∠DBP=∠CAP

∴△PCA≌△PDB（AAS）

∴PA=PB

【证法2】

在OB上截取OE=OA，连接PE

∵OT平分∠MON

∴∠AOP=∠EOP

又∵OA=OE，OP=OP

∴△AOP≌△EOP（SAS）

∴PA=PE，∠OAP=∠OEP

∵∠APB+∠MON=180°

∴∠OAP+∠OBP=180°

即∠OEP+∠OBP=180°

∵∠OEP+∠PEB=180°

∴∠OBP=∠PEB

∴PE=PB

∴PA=PB