Question

已知点P角MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使

∠APB+∠MON=180°，PA=PB

1）若点C是AB与OP的交点，当S△POB=S△MON时，求PB与PC的比值
2）若角MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足角PBD=∠ABO，求OB的长

Answer 1

解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F
∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，
∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，
∴∠EPA=∠FPB，
由角平分线的性质，得PE=PF，
∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；

（2）∵S_△POB=3S_△PCB，
∴PO=3PC，
由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=12（180°-∠APB）=12∠MON=∠BOP，
又∵∠BPC=∠OPB（公共角），
∴△PBC∽△POB，
∴PBPO=PCPB，
即PB²=PO•PC=3PC²，
∴PBPC=3

（3）作BH⊥OT，垂足为H，
当∠MON=60°时，∠APB=120°，
由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=12（180°-∠APB）=30°，
又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，
∴∠ABO=12（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，
在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，
在Rt△OBH中，BH=12OB=1，OH=3，
在Rt△PBH中，PH=BH=1，
∴OP=OH+PH=3+1．

Answer 2

pb：pc=1：根号3