Question

x趋向无穷时,x2ln(1+1/x)的极限为什么是无穷不是0?

请写出解答过程(这个应该是0*无穷型的吧)不应该得0吗？为什么是无穷啊？

Answer 1

x^2ln(1+1/x)=x*xln(1+1/x)=xln(1+1/x)^x,
x趋向无穷时,lim(1+1/x)^x=e，所以ln(1+1/x)^x→1
x趋于无穷而ln(1+1/x)^x是有界量，那么x^2ln(1+1/x)是无穷量

追问

先谢谢您的回答，但还有一点不明白？不是只有无穷小与有界量的积才是无穷小吗？无穷大乘有界量也能说明是无穷大吗？那么最后一句话怎么成立呢？

追答

只要这个有界量不以0为极限，和无穷大量相乘还是无穷大量
1、先证明个函数极限的性质：(设x→∞，limF(x)=A，linG(x)=B，且A>B，那么必存在X>0，当|x|>X时，有F(x)>G(x)
取Ɛ=(A-B)/2，则由limF(x)=A，可知存在X1>0，当|x|>X1时，有|F(x)-A|(A+B)/2
同理可证，存在X2>0，当|x|>X2时，有|G(x)-A|X时，有G(X)limF（x)，可知必存在X1>0，当|x|>X1时，有g(x)>1/2
又x→∞时f(x)=x是无穷大量，则对于任意正数G，存在X2>0，当|x|>X2时，总有|f(x)|>G
取X=max(X1，X2)，则当|x|>X时，有|f（x)g(x)|>G/2。这说明f（x)g(x)是无穷大量