Question

高中数学 求数列通项公式

a(n+1)=(an)^2-1 a1=2 求an的通项公式 a(n+1)表示第n+1项的值

Answer 1

这是费波那契数列，通项公式为：A(n)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5推导过程如下：我们给出初值A(1)，A(2),和初始条件A(n+2)=A(n+1)+A(n)
则A(n+2)-pA(n+1)=q[A(n+1)-pA(n)]
比较系数可得
p+q=1,pq=-1
两者都满足方程x^2-x-1=0
令B(n)=A(n+1)-pA(n), 则B(1)=A(2)-pA(1)
B(n+1)=qB(n)
B(n)=q^(n-1)B(1)
将B(n)=A(n+1)-pA(n), 代入可得
A(n+1)-pA(n)=q^(n-1)B(1)
这个可以写为
A(n+1)+sq^(n)B(1)=p[A(n)+sq^(n-1)B(1)]
比较系数可得
sp-sq=1即s=1/(p-q)
令C(n)=A(n)+sq^(n-1)B(1),则C(1)=A(1)+sB(1)
C(n+1)=pC(n)
C(n)=p^(n-1)C(1)
将C(n)=A(n)+sq^(n-1)B(1)，s=1/(p-q)代入可得
A(n)+sq^(n-1)B(1)=p^(n-1)C(1)
即A(n)=C(1)p^(n-1)+[B(1)/(q-p)]q^(n-1)
将B(1),C(1),通通代入,可得
A(n)={[A(2)-A(1)q]/(p-q)}p^(n-1)+{[A(2)-pA(1)]/(q-p)]}q^(n-1)
我们解出x^2-x-1=0的两根，分别为p=(1+√5)/2;q=(1-√5)/2
代入上式可得
A(n)={A(2)+A(1)[(√5-1)/2]}/√5*[(1+√5)/2]^(n-1)
+{A(2)-A(1)[(√5+1)/2]}/(-√5)*[(1-√5)/2]^(n-1)
我们令A(1)=1,A(2)=2
可得
A(n)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5

追问

不对吧 a1=2 a2=3 a3=8 a4=63 不满足A(n+2)=A(n+1)+A(n)呀 (an)^2是an的平方

Answer 2

这个没有通项的，

a(n+1)=2(an)^2-1

这个就有通项

追问

为什么这个没有通项？

追答

我也不知道为什么，但是我用wolfram算的是没有。这个数学引擎，

你把表达式写进去，会自动给你通项的。

如图，两个都帮你算了。这个没通项。另一个a(n+1)=2(an)^2-1有

满意请采纳，谢谢支持。你如果要求a(n+1)=2(an)^2-1，我可以教你

追问

谢谢了