Question

已知数列{an}满足an+1=12an2-n2an+1（n∈N*）且a1=3．（1）求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项an；（2）设

已知数列{an}满足an+1=12an2-n2an+1（n∈N*）且a1=3．（1）求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项an；（2）设数列{bn}满足bn=2an+1an(an+1)(an+2)，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：760≤Sn＜1324．

Answer 1

解答：（1）解：由a_n+1=

1

2

a_n²-

n

2

a_n+1，a₁=3，得
a2＝

1

2

×32?

1

2

×3+1＝4．
a3＝

1

2

×42?4+1＝5．
a4＝

1

2

×52?

3

2

×5+1＝6．
…
由此推测，a_n=n+2．
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，a₁=3成立；
假设当n=k时成立，即a_k=k+2，
则当n=k+1时，ak+1＝

1

2

ak2?

k

2

ak+1=

1

2

(k+2)2?

k

2

(k+2)+1
=

2k+6

2

＝k+3＝(k+1)+2，结论成立．
综上，对于任意的n∈N^*，都有a_n=n+2；
（2）证明：由b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，得
bn＝

2(n+2)+1

(n+2)(n+3)(n+4)

＝

2n+5

(n+2)(n+3)(n+4)

．
当n=1时，b1＝

7

3×4×5

＝

7

60

，
又b_n＞0，
∴数列{b_n}的前n项和Sn≥S1＝

7

60

；
又

2n+5

(n+2)(n+3)(n+4)

＝

1

n+2

?

1

n+4

?

1

2

[

1

(n+2)(n+3)

?

1

(n+3)(n+4)

]．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=(

1

3

?

1

5

+

1

4

?

1

6

+

1

5

?

1

7

+…+

1

n+2

?

1

n+4

)
-

1

2

[

1

3×4

?

1

4×5

+

1

4×5

?

1

5×6

+…

1

(n+2)(n+3)

?

1

(n+3)(n+4)

]
=

1

3

+

1

4

?

1

24

?

1

n+3

?

1

n+4

+

1

(n+3)(n+4)

=

13

24

?

2

n+4

＜

13

24

．
综上，

7

60

≤S_n＜

13

24

．