Question

已知函数f（x）=cosx+3cos（x+π2）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最大值，并指出取得最大值时相应的x的

已知函数f（x）=cosx+3cos（x+π2）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最大值，并指出取得最大值时相应的x的值；（2）设0≤φ≤π，若y=f（x+φ）是偶函数，求φ的值．

Answer 1

（1）f（x）=cosx+

3

cos（x+

π

2

）=cosx-

3

sinx=2（

1

2

cosx-

3

2

sinx）
=2cos（x+

π

3

），
∵-1≤cos（x+

π

3

）≤1，
∴-2≤2cos（x+

π

3

）≤2，即-2≤f（x）≤2，
则f（x）的最大值为2，此时x+

π

3

=2kπ（k∈Z），即x=2kπ-

π

3

（k∈Z）；
（2）法1：由（1）及f（x+φ）=f（-x+φ），
得cos（-x+

π

3

+φ）=cos（x+

π

3

+φ），即sinxsin（φ+

π

3

）=0对任意实数x恒成立，
可得φ+

π

3

=kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，
则φ=

2π

3

；
法2：由题设知f（x+φ）=f（-x+φ），
∴x=φ是y=f（x）的对称轴，
由y=2cos（x+

π

3

）的对称轴为x=kπ-

π

3

，k∈Z，即φ=kπ-

π

3

，k∈Z，
又0≤φ≤π，
令k=1，得φ=

2π

3

．