Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若b=3，则a+c

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若b=3，则a+c的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）将已知等式bcosC=（2a-c）cosB，
利用正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
整理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
又0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵b=

3

，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理可知b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3（

a+c

2

）²，即a+c≤2

3

，
当且仅当a=c=

3

时取等号，
则a+c的最大值为2

3

．