Question

如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD= 4 2 ，∠C=45°，点P是BC边

如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD= 4 2 ，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer 1

（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N， 则四边形AMND是矩形， ∴AM=DN，AD=MN=5， 而CD= 4 2 ，∠C=45°， ∴DN=CN=CD?sin∠C=4 2 × 2 2 =4=AM， ∴BM=CB-CN-MN=3， 若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形， 则∠APC=90°或∠DEB=90°， 当∠APC=90°时， ∴P与M重合， ∴BP=BM=3； 当∠DPB=90°时，P与N重合， ∴BP=BN=8； 故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； （2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE， 有两种情况：①当P在E的左边， ∵E是BC的中点， ∴BE=6， ∴BP=BE-PE=6-5=1； ②当P在E的右边， BP=BE+PE=6+5=11； 故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形； （3）由（2）知，①当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6-4=2， ∴DE= DN 2 + NE 2 = 4 2 + 2 2 =2 5 ≠AD，故不能构成菱形． ②当BP′=11时，以点P′、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形 ∴EP′=AD=5， 过D作DN⊥BC于N， ∵CD= 4 2 ，∠C=45°， 则DN=CN=4， ∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-12+4=3． ∴DP′= DN 2 + NP 2 = 4 2 + 3 2 =5， ∴EP′=DP′， 故此时?P′DAE是菱形． 即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形；