Question

在△ABC中，已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a、b为关于x的方程x 2 +4（c+2）=（c+4）x的两个根

在△ABC中，已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a、b为关于x的方程x 2 +4（c+2）=（c+4）x的两个根，在AB上取一点D，作DE⊥AC于E，若DE=BD， BC AC = 3 4 ，求AE的长．

Answer 1

根据一元二次方程根与系数的关系可得： a+b=c+4，ab=4c+8 那么（a+b） 2 =a 2 +b 2 +2ab=a 2 +b 2 +2（4c+8）=（c+4） 2 a 2 +b 2 =c 2 那么△ABC为直角三角形，且∠C为直角，那么DE ∥ BC， 根据： BC AC = 3 4 ， a b = 3 4 ，设a=3x，b=4x，c=5x，那么a+b=7x=c+4=5x+4 x=2．所以a=6，b=8，c=10． 设DE=m，根据DE ∥ BC，得： AD EC = AB BC ，根据DE=BD，AD=AB-BD=AB-DE，那么 AE AC = DE BC ，m= 15 4 ； 由 AE AC = DE BC ，即 AE 8 = m 6 ，AE=5， 答：AE的长为5．