Question

已知圆A：x2+y2+2x+2y-2=0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y=2x上，求满足上述条件的半径最小

已知圆A：x2+y2+2x+2y-2=0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y=2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．

Answer 1

设圆B的半径为r，∵圆B的圆心在直线l：y=2x上，∴圆B的圆心可设为B（t，2t）；
圆A的方程变成：（x+1）²+（y+1）²=4，圆心A（-1，-1），设圆A，圆B交于C，D两点，∵圆B平分圆A的周长，∴圆心A在CD上，如下图所示：
连接BA，BC，则△ABC是直角三角形，|BC|=r，|AC|=2；
∴（t+1）²+（2t+1）²+4=r²，整理得：r2＝5t2+6t+6＝5(t+

3

5

)2+

21

5

；
∴t＝?

3

5

时，r2最小，r最小，此时圆心B(?

3

5

，?

6

5

)，半径r=

21 5

；
∴圆B的方程为(x+

3

5

)2+(y+

6

5

)2＝

21

5

．