Question

已知圆A：x2+y2+2x+2y-2=0，圆B：x2+y2-2ax-2by+a2-1=0，如果圆B始终平分圆A的周长（I）求动圆B的圆心的

已知圆A：x2+y2+2x+2y-2=0，圆B：x2+y2-2ax-2by+a2-1=0，如果圆B始终平分圆A的周长（I）求动圆B的圆心的轨迹方程；（II）当圆B的半径最小时，求圆B的标准方程．

Answer 1

（Ⅰ）把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为2（a+1）x+2（b+1）y-a²-1=0，
由题意知直线l经过圆A的圆心（-1，-1），因而 a²+2a+2b+5=0．
设动圆B的圆心为（x，y），则由圆B的方程：x²+y²-2ax-2by+a²-1=0可得B（a，b），
即 x=a，y=b，则所求方程为 x²+2x+2y+5=0．
（II） 圆B：（x-a）²+（y-b）²=1+b²，其半径为

1+b2

．
由（I） a²+2a+2b+5=0，即 2b+4=-（a+1）²≤0，
所以b≤-2，因而

1+b2

≥

5

，
此时圆B：（x+1）²+（y+2）²=5．