设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1＝2Sn+2(n∈N+)．（1）求数列{an}通项公式；（2）在an与an+1之间
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1＝2Sn+2(n∈N+)．（1）求数列{an}通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为...
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1＝2Sn+2(n∈N+)．（1）求数列{an}通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列．（ⅰ）求证：1d1+1d2+1d3+…+1dn＜1516(n∈N+)（ⅱ）在数列{dn}中是否存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
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（1）由an+1=2Sn+2，得an=2Sn-1+2，n≥2，
两式相减得an+1=3an，n≥2，
又a2=2a1+2，又∵{an}为等比数列，公比q=3，
所以a2=2a1+2=3a1，则a1=2，所以an＝2×3n?1．
（2）由（1）知an＝2×3n?1，an+1＝2×3n，
由an+1=an+（n+1）dn，得dn＝
，
（i）令Tn＝
+
+…+
，则Tn＝
+
+
+…+
Tn＝
+
+
+…+
+
，
∴两式相减，得Tn=
?
＜
．
（ii）假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则dk2＝dm?dp，即(
)2＝
?
两式相减得an+1=3an，n≥2，
又a2=2a1+2，又∵{an}为等比数列，公比q=3，
所以a2=2a1+2=3a1，则a1=2，所以an＝2×3n?1．
（2）由（1）知an＝2×3n?1，an+1＝2×3n，
由an+1=an+（n+1）dn，得dn＝
| 4×3n?1 |
| n+1 |
（i）令Tn＝
| 1 |
| d1 |
| 1 |
| d2 |
| 1 |
| dn |
| 2 |
| 4×30 |
| 3 |
| 4×3 |
| 4 |
| 4×32 |
| n+1 |
| 4×3n?1 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 4×3 |
| 3 |
| 4×32 |
| 4 |
| 4×33 |
| n |
| 4×3n?1 |
| n+1 |
| 4×3n |
∴两式相减，得Tn=
| 15 |
| 16 |
| 3(2n+5) |
| 16×3n |
| 15 |
| 16 |
（ii）假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则dk2＝dm?dp，即(
| 4×3k?1 |
| k+1 |
| 4×3m?1 |
| m+1 |
