Question

已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线L：mx-y+1-m=0（1）求证：对任意m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；（2

已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线L：mx-y+1-m=0（1）求证：对任意m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；（2）设L与圆C交与A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）P（1，1）为弦AB上点，且|AP||PB|＝12，求此时L的方程．

Answer 1

（1）∵直线L：mx-y+1-m=0即为y=m（x-1）+1
∴直线l恒过（1，1）
∵1²+（1-1）²=1＜5
∴（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部
综上，对任意的m∈R，直线L与圆C一定有两个不同的交点
（2）圆C：x²+（y-1）²=5  ①
直线l：mx-y+1-m=0②
联立①②得
（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0
∴x1+x2＝

2m2

1+m2

，y1+y2＝

2(m2? m+1)

1+m2

设弦AB的中点M为（x，y）则有

x＝ m2 1+m2 y＝  (m2? m+1) 1+m2

则y=1-

m

1+m2

，
∴

m

1+m2

=1-y，

m2

1+m2

=x两式相除得，m=

x

1?y

代入第一式即消去m得到x²+y²-x-2y+1=0
故弦AB的中点M的轨迹方程为x²+y²-x-2y+1=0
（3）∵直线l：mx-y+1-m=0，y-1=m（x-1），
∴直线l过定点（1，1）．
作平行于x轴，且过圆心（0，1）的直线，交圆于MN两点，
显然，PM=

5

?1，PN=

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