Question

已知函数y＝f(x)＝4cosxsin(x+π6)?1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若将f（x）图象

已知函数y＝f(x)＝4cosxsin(x+π6)?1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若将f（x）图象按向量a＝(m，0)（m＞0）平移得到一个奇函数的图象，求m满足的表达式．

Answer 1

（Ⅰ）y＝f(x)＝4cosxsin(x+

π

6

)?1
=4cosx[sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

]?1
=4cosx[

3

2

sinx+

1

2

cosx]?1
=4cosx[

3

2

sinx+

1

2

cosx]?1
=2

3

cosxsinx+2cos2x?1
=2sin(2x+

π

6

)．
∴f（x）的最小正周期T=π．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ?

π

3

+2kπ≤2x≤

4π

3

+2kπ?

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]k∈Z；
（Ⅱ）将f（x）图象按向量

a

＝(m，0)（m＞0）平移，
得到y＝2sin[2(x?m)+

π

6

]
=2sin(2x?2m+

π

6

)，
∵该函数为奇函数，∴?2m+

π

6

＝kπ?m＝

π

12

?

k

2

π（k≤0，k∈Z）．
即m=

π

12

?

k

12

π （k≤0，k∈Z）．