Question

已知函数f（x）=x+1x（x≠0）．（I）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（II）判断并证明函数f（x）在（1，+

已知函数f（x）=x+1x（x≠0）．（I）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（II）判断并证明函数f（x）在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

解答：证明：（I）函数f（x）为奇函数
证明如下：由题意可得，函数的定义域关于原点对称
∵f（x）=x+

1

x

∴f（-x）=-x+

1

?x

=-（x+

1

x

）=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（II）函数f（x）在（1，+∞）单调递增，证明如下
设1＜x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

?x2?

1

x2

=x1?x2+

x2?x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1?

1

x1x2

）
∵1＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜01-，

1

x1x2

＞0
∴（x₁-x₂）（1?

1

x1x2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）单调递增，