Question

已知椭圆C中心在坐标原点，焦点坐标为（2，0），短轴长为43．（1）求椭圆C的标准方程及离心率，并写出椭

已知椭圆C中心在坐标原点，焦点坐标为（2，0），短轴长为43．（1）求椭圆C的标准方程及离心率，并写出椭圆的准线方程；（2）设P是椭圆C上一点，且点P与椭圆C的两个焦点F1，F2构成一个直角三角形，且PF1＞PF2，求PF1PF2的值．

Answer 1

（1）由题意设椭圆C方程

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)
则2b＝4

3

，b＝2

3

，C＝2
∴a²=b²+c²=16
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

＝1，
离心率e＝

c

a

＝

1

2

，
准线方程为x=±8，
（2）由已知PF₁+PF₂=8，F₁F₂=4PF₁＞PF₂
故在Rt△PF₁F₂中只有PF₁F₁F₂为斜边
若∠PF₂F₁=90°，则P

F

2 1

＝P

F

2 2

+F1

F

2 2

∴P

F

2 1

＝(8?PF1)2+16
∴PF1＝5，PF2＝3∴

PF1

PF2

＝

5

3

，
若∠F₁PF₂=90°，
则F1

F

2 2

=P

F

2 1

+P

F

2 2

16＝P

F

2 1

+(8?PF1)2无解
综合得

PF1

PF2

＝

5

3

．