Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2 。（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2 。（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+ 与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l 0 与y轴交于M（0，m），求m的取值范围。

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Answer 1

解：（1）设双曲线C的方程为 （a>0，b>0） 由已知得：a= ，c=2， 再由a 2 +b 2 =c 2 ， ∴b 2 =1 ∴双曲线C的方程为 。 （2）设A（x A ，y A ）、B（x B ，y B ） 将y=kx+ 代入 得（1-3k 2 ）x 2 -6 kx-9=0 由题意知 解得 ∴当 时，l与双曲线左支有两个交点。 （3）由（2）得：x A +x B = ∴y A +y B =（kx A + ）+（kx B + ）=k（x A +x B ）+2 = ∴AB的中点P的坐标为 设直线l 0 的方程为： 将P点坐标代入直线l 0 的方程，得 ∵ ∴-2<1-3k 2 <0 ∴m<- ∴m的取值范围为 。