Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，其中an=S1，n＝1Sn?Sn?1，n≥2（1）求S1，S2

设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，其中an=S1，n＝1Sn?Sn?1，n≥2（1）求S1，S2，S3的值；（2）猜出Sn的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
由（1）得S₁=a₁=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

．
由①可得S₃=

3

4

．
（2）由（1）猜想S_n=

n

n+1

，
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即S_k=

k

k+1

，
当n=k+1时，由①得S_k+1=

1

2?Sk

，即S_k+1=

k+1

k+2

，故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知S_n=

n

n+1

对所有正整数n都成立．