Question

已知数列{a n }满足 a 1 =2，a 2 =8，a n+2 =4a n+1 -4a n ．（1）证明{a n+1 -2a n }是等比数列；（2）

已知数列{a n }满足 a 1 =2，a 2 =8，a n+2 =4a n+1 -4a n ．（1）证明{a n+1 -2a n }是等比数列；（2）证明 { a n 2 n } 是等差数列；（3）设S=a 1 +a 2 +a 3 +…+a 2010 ，求S的值．

Answer 1

（1）∵a n+2 =4a n+1 -4a n ∴a n+2 -2a n+1 =2（a n+1 -2a n ）， 即 a n+2 -2 a n+1 a n+1 -2 a n =2 ，又 a 2 -2a 1 =4 ∴数列{a n+1 -2a n }是以4为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知，a n+1 -2a n =4?2 n-1 =2 n+1 ，∴ a n+1 2 n+1 - a n 2 n =1 ，又  a 1 2 =1 ， ∴数列 { a n 2 n } 是首项为1，公差为1的等差数列，即正整数列． （3）∵ a n 2 n =n ，∴a n =n?2 n ，又 S=a 1 +a 2 +a 3 +…+a 2010 ， ∴S=2+2?2 2 +3?2 3 +…+2010?2 2010 ①2S=2 2 +2?2 3 +3?2 4 +…+2010?2 2011 ② ①-②得-S=2+2 2 +2 3 +…+2 2010 -2010?2 2011 =2 2011 -2-2010?2 2011 ∴S=2009?2 1011 +2．