Question

已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，2bcosC=2a-c.①求B②若三角形

已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，2bcosC=2a-c.①求B②若三角形ABC的面积为√3，求b的取值范围？

Answer 1

过A做AE⊥BC于E，则AE=ABsinB=√3c/2=ACsinC=bsinC,c=2√3bsinC/3
2bcosC=2a-c,所以bcosC=(2a-c)/2=a-c/2,a=bcosC+c/2=b(cosC+√3sinC/3)
角B为60°，三角形面积=acsinB/2=√3，则ac=4=b(cosC+√3sinC/3)(2√3bsinC/3)
所以4=b^2(cosC*2√3sinC/3+2sin^2C/3),12=b^2(2√3sinCcosC+2sin^2C)
12=b^2(√3sin2C-cos2C-1)=2b^2(√3sin2C/2-cos2C/2-1/2)=2b^2[sin(2C-π/6)-1/2]
b^2=6/[sin(2C-π/6)-1/2]
sin(2C-π/6)-1/2>0,sin(2C-π/6)>1/2,5π/6>2C-π/6>π/6,π/2>C>π/6
sin(2C-π/6)<=1,sin(2C-π/6)-1/2<=1/2
b^2=6/[sin(2C-π/6)-1/2]>=12
b>=2√3

Answer 2

（1）由正弦定理得
2sinBcosC=2sinA-sinC，
在△ABC中
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，
2sinBcosC=2sinBcosC+2sinCcosB-sinC
∴sinC（2cosB-1）=0．
又∵0＜C＜π，sinC＞0，
∴cosB＝1/2，
注意到0＜B＜π，
∴B＝π/3
（2）∵S△ABC＝1/2acsinB＝√3，
∴ac=4，
由余弦定理得
b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-ac=（a+c）^2-3ac，
∴（a+c）^2=b^2+3ac=16，
∴a+c=4，
又ac=4，
所以a=c=2，
故△ABC是等边三角形．