Question

如图所示，PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．（Ⅰ）求证：ABAC=PAPC；（Ⅱ）求AC

如图所示，PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．（Ⅰ）求证：ABAC=PAPC；（Ⅱ）求AC的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACP=∠PAB，
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB?PC．
又∵PA=10，PB=5，
∴PC=20，BC=5…（7分）
由（Ⅰ）知，

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC=

BC2?AB2

=6

5

 …（10分）