Question

选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分

选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证： AB AC = PA PC ；（Ⅱ）求AD?AE的值．

Answer 1

（ I）∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAB=∠ACP，…（1分） 又∠P公用，∴△PAB ∽ △PCA．…（2分） ∴ AB AC = PA PC ．…（3分） （ II）∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线， ∴PA 2 =PB?PC．…（5分） 又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分） 由（ I）知， AB AC = PA PC = 1 2 ， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB=90°． ∴AC 2 +AB 2 =BC 2 =225， ∴ AC=6 5 ，AB=3 5 …（7分） 连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分） 又∠CAE=∠EAB， ∴△ACE ∽ △ADB， ∴ AB AE = AD AC …（9分） ∴ AD?AE=AB?AC=3 5 ×6 5 =90 ．…（10分）