Question

已知：如图，圆O1与圆O2外切于点P，经过圆O1上一点A作圆O1的切线交圆O2于B、C两点，直线AP交圆O2于点D，

已知：如图，圆O1与圆O2外切于点P，经过圆O1上一点A作圆O1的切线交圆O2于B、C两点，直线AP交圆O2于点D，连接DC、PC．（1）求证：DC2=DP?DA；（2）若圆O1与圆O2的半径之比为1：2，连接BD，BD=46，PC=12，求AB的长．

Answer 1

解答：（1）证明：过点P作两圆的内公切线EP交AB于点F，
∵FE、CA都与圆O₁相切，
∴FP=FA，
∴∠FAP=∠FPA；
∵∠FPA=∠EPD=∠DCP，
∴∠FAP=∠DCP；
∵∠PDC=∠CDA，
∴△CDP∽△ADC；
∴

CD

AD

＝

DP

CD

；
∴DC²=DP?DA．

（2）解：连接O₁O₂，则点P在O₁O₂上，连接O₁A、O₂D，
∵O₁A=O₁P，
∴∠O₁AP=∠O₁PA；
又∵O₂P=O₂D，
∴∠O₂DP=∠O₂PD，
∴∠O₁AP=∠O₂DP；
∴O₁A∥O₂D，
∴

PA

PD

＝

O1P

O2P

=

1

2

；
∴DP=2PA，
由（1）中△CDP∽△ADC，得∠DCB=∠APC，

PC

AC

＝

CD

AD

；
∵∠APC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC；
∴DC=BD=4

6

；
由DC²=DP?DA，得（4

6

）²=

3

2

DP²，
∴DP=8，AP=4，AD=12，
∴

12

AC

=

4 6

12

，
∴AC=6

6

．
由AP?AD=AB?AC，得4×12=6

6

AB，
∴AB=

4

3

6

．