如图,直线AB经过⊙O的圆心,与⊙O相交于点A、B,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线AB上的一个动点(

如图,直线AB经过⊙O的圆心,与⊙O相交于点A、B,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线AB上的一个动点(与O不重合),直线PC与⊙O相交于点Q,问:点P在直线A... 如图,直线AB经过⊙O的圆心,与⊙O相交于点A、B,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线AB上的一个动点(与O不重合),直线PC与⊙O相交于点Q,问:点P在直线AB的什么位置上时,QP=QO?这样的点P共有几个?并相应地求出∠OCP的度数. 展开
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无爱RK52
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知道答主
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解:①根据题意,画出图①,
在△QOC中,OC=OQ,
∴∠OQC=∠OCQ,
在△OPQ中,QP=QO,
∴∠QOP=∠QPO,
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC,∠AOC=30°,∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°,
∴3∠OCP=120°,
∴∠OCP=40°.

②当P在线段OA的延长线上(如图②)
∵OC=OQ,∴∠OQP=
180°?∠QOC
2
①,
∵OQ=PQ,
∴∠OPQ=
180°?∠OQP
2
②,
在△OQP中,30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③,
把①②代入③得∠QOC=20°,则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°;

③当P在线段OA的反向延长线上(如图③),
∵OC=OQ,
∴∠OCP=∠OQC=
180°?∠COQ
2
①,
∵OQ=PQ,
∴∠P=
180°?∠OQP
2
②,
∵∠AOC=30°,
∴∠COQ+∠POQ=150°③,
∵∠P=∠POQ,2∠P=∠OCP=∠OQC④,
①②③④联立得
∠P=10°,
综上所述,∠OCP=180°-150°-10°=20°.
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