Question

已知圆C：（x-3） 2 +（y-4） 2 =4，直线l 1 过定点A（1，0）．（Ⅰ）若l 1 与圆相切，求l 1 的方程；（

已知圆C：（x-3） 2 +（y-4） 2 =4，直线l 1 过定点A（1，0）．（Ⅰ）若l 1 与圆相切，求l 1 的方程；（Ⅱ）若l 1 与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l 1 与l 2 ：x+2y+2=0的交点为N，求证：AM?AN为定值．

Answer 1

（Ⅰ）①若直线l 1 的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分） ②若直线l 1 斜率存在，设直线l 1 为y=k（x-1），即kx-y-k=0． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1 的距离等于半径2， 即 |3k-4-k|   k 2 +1 =2 解之得 k= 3 4 ． 所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分） （Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0 由 x+2y+2=0 kx-y-k=0 得 N( 2k-2 2k+1 ，- 3k 2k+1 ) 又直线CM与l 1 垂直， y=kx-k y-4=- 1 k (x-3) 得 M( k 2 +4k+3 1+ k 2 ， 4 k 2 +2k 1+ k 2 ) ． ∴AM*AN= 2 |2k+1| 1+ k 2 1+ k 2 ? 3 1+ k 2 |2k+1| =6 为定值．（10分）