Question

已知：抛物线y=x 2 -2x+a（a<0）与y 轴相交于点A，顶点为M，直线 分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并

已知：抛物线y=x 2 -2x+a（a<0）与y 轴相交于点A，顶点为M，直线 分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N。（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ，），N（____，____）；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a 的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x 2 -2x+a（a<0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由。

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Answer 1

解：（1）M（1，a-1）， ；
（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称， ∴ 将N′的坐标代入y=x 2 -2x+a， 得 ∴a 1 =0（不合题意，舍去）， ∴ ∴点N到y轴的距离为3， ∴ ， ∴直线AN′的解析式为 ， 它与x轴的交点为 ， ∴点D到y轴的距离为 ， ∵直线BC与y轴的交点为 ， ∴S 四边形ADCN =S △ACN +S △ACD = ；
（3）①当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，如图所示， ∴把N向上平移-2a个单位得到点P，P点坐标为 ，把点P的坐标代人抛物线的解析式， 得： ∴a 1 =0（不合题意，舍去）， ∴ ； ②当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，如图所示， ∴OA=OC，OP=ON， ∴P与N关于原点对称 ∴ ∴将P点坐标代入抛物线解析式得： ∴a 1 =0（不合题意，舍去）， ∴ 综上所述，存在这样的点 或 使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形。