Question

已知动点M到两个定点F1（-3，0），F2（3，0）的距离之和为10，A、B是动点M轨迹C上的任意两点．（1）求动

已知动点M到两个定点F1（-3，0），F2（3，0）的距离之和为10，A、B是动点M轨迹C上的任意两点．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若原点O满足条件AO＝λOB，点P是C上不与A、B重合的一点，如果PA、PB的斜率都存在，问kPA?kPB是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）设点M的坐标为（x，y），
∵|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|=6，
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，
其中a＝5，c＝3，b＝

a2?c2

＝4，
故点M的轨迹方程为

x2

25

+

y2

16

＝1，
（2）设A（x₀，y₀），当

AO

＝λ

OB

时，
必有点A、B关于原点O对称，
∴B（-x₀，-y₀）．
设P（5cosθ，4sinθ），
则kPA＝

y0?4sinθ

x0?5cosθ

，kPB＝

?y0?4sinθ

?x0?5cosθ

＝

y0+4sinθ

x0+5cosθ

，
∴kPA?kPB＝

y02?16sin2θ

x02?25cos2θ

．
∵A在椭圆上，∴

x02

25

+

y02

16

＝1，∴y02＝16(1?

x02

25

)，
∴kPA?kPB＝

16(1? x02 25 )

x02?25cos2θ

＝?

16

25

，
∴k_PA?k_PB为定值-

16

25

．