Question

已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为42．（I）求动点M轨迹C的方程；（II）设N（0，2），

已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为42．（I）求动点M轨迹C的方程；（II）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：kl+k2为定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点，以4

2

为长轴长的椭圆．
由c=2，a＝2

2

，得b²=a²-c²=8-4=4．
故曲线C的方程为

x2

8

+

y2

4

＝1；
（Ⅱ）证明：如图，
当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），
由

x2 8 + y2 4 ＝1 y+2＝k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2＝?

4k(k?2)

1+2k2

，x1x2＝

2k2?8k

1+2k2

．
从而k1+k2＝

y1?2

x1

+

y2?2

x2

=

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